Назад Зміст Вперед

Задачі на обчислення елементів послідовності через попередні елементи

Послідовність – це сукупність чисел, кожне з яких має свій порядковий номер та утворюється за якоюсь формулою або правилом.

Ми обчислювали елементи послідовності за формулою таким чином: підставляли номер елемента послідовності у формулу та отримували значення елемента.

Наприклад, ai=i2+1, де i=1, 2, 3, …5
a1=1*1+1=2
a2=2*2+1=5
a3=3*3+1=10
a4=4*4+1=17
a5=5*5+1=26
Тобто, це числа 2 5 10 17 26.

Але таким чином можна обчислити елементи не для всіх послідовностей. Якщо у формулі для обчислення елемента ai присутній один чи декілька попередніх елементів (ai-1 або ai-2), або формула для обчислення елементу послідовності містить факторіал, або словесно вказується, як обчислюється „наступний” елемент через „попередній”, то цей алгоритм не підходить.

Приклад 1

Дано натуральне число n. Надрукувати n чисел a1=3, ai=ai-1+4, i=2, 3, …n.

Наприклад, n=5. Підставляємо значення i=2,3,…5 у формулу. Отримаємо:

Результат роботи програми

ВвідВивідПояснення
5 3 7 11 15 19 Вводимо 5 - кількість чисел. Отримаємо п’ять чисел послідовності

Змінні:

Вхідні:

Вихідні:

Проміжні:

Алгоритм

  1. Спочатку вводимо n – кількість чисел, що потрібно обчислити та вивести на екран.
  2. До початку циклу присвоїмо початкове значення змінній a. Воно повинно співпадати з першим числом послідовності a=3.
  3. У циклі від, 2 у фігурних дужках будемо виконувати такі дії:

Програма

Правило обчислення елементів послідовності через один попередній

  1. Для значень елементів послідовності досить одної змінної (a). Порядкові номери елементів в програмі не використовуються.
  2. Перед циклом потрібно присвоїти перше значення змінній (a). Воно буде „попереднім” (для приклада a=3).
  3. У циклі, (цикл від 2, бо одне число вже обчислили):
    • Виводиться на екран „попередній” елемент (a);
    • За формулою обчислюється „наступний” елемент і його значення присвоюється тій же самій змінній (для приклада a=a+4);
    • Останній виток циклу для i=n+1, тому що на кожному витку ми виводимо на екран „попередній” елемент та обчислюємо „наступний”. Тобто при i=2 виводимо на екран a1, а обчислюємо a2, при i=3 виводимо на екран a2, а обчислюємо a3 і т і. Тобто, останній елемент an виведеться на екран при i=n+1.

Приклад 2

Дано натуральне число n. Надрукувати n чисел ai=i! де i=1, 2, …n.

Дано: кількість чисел.

Знайти: Надрукувати самі числа.

i!=1*2*3…i (читається i факторіал). Для обчислення факторіалу використовується операція множення. Для знаходження факторіалу спочатку потрібно помножити на 2, потім результат на 3, потім результат на 4 і т.д.

В самій формулі для обчислення елементів послідовності не видно, що кожний елемент обчислюється через попередній. Але, це можна легко з’ясувати, наприклад,для n=5:

Тобто, a1=1, ai=ai-1*i, i=2,3,…n

Результат роботи програми

ВвідВивід
5 1 2 6 24 120

Змінні:

Вхідні:

Вихідні:

Проміжні:

Алгоритм

  1. Спочатку вводимо n – кількість чисел, що потрібно обчислити та вивести на екран.
  2. До початку циклу присвоїмо початкове значення змінній a. Воно повинно співпадати з першим числом послідовності a=1.
  3. У циклі від 2 у фігурних дужках будемо виконувати такі дії:

Програма

Приклад 3

Дано натуральне число n. Надрукувати n чисел для i=1, 2, …n.

Дано: кількість чисел.

Знайти: Надрукувати самі числа.

В самій формулі для обчислення елементів послідовності не видно, що кожний елемент обчислюється через попередній. Але, це можна легко з’ясувати:

Для обчислення i-го „наступного” числа до попереднього числа додають дріб, у чисельнику якого 1, а у знаменнику порядковий номер „наступного” числа. Тобто, b1=1; , i=2,3,…n

Результат роботи програми

ВвідВивідПояснення
4 1.00 1.50 1.83 2.08 Вводимо 4 - кількість чисел. Отримаємо чотири дійсних числа що є елементами послідовності

Змінні:

Вхідні:

Вихідні:

Проміжні:

Алгоритм

  1. Спочатку вводимо n – кількість чисел, що потрібно обчислити та вивести на екран.
  2. До початку циклу присвоїмо початкове значення змінній b. Воно повинно співпадати з першим числом послідовності b=1.
  3. У циклі будемо виконувати такі дії:

Програма

Приклад 4

Дано натуральне число n. Надрукувати n чисел, що створюють послідовність Фібоначчи:

Дано: кількість чисел.

Знайти: Надрукувати самі числа.

В цій формулі для обчислення елементів послідовності видно, що кожний елемент, починаючи з третього, обчислюється через два попередніх (fi-1 та fi-2 ).

Правило обчислення елементів послідовності через два попередніх

  1. Для значень елементів послідовності потрібно три змінних (a1, a2, a3).
  2. Перед циклом потрібно:
    • присвоїти початкові значення першим двом змінним (a1, a2). Вони повинні співпадати з двома першими елементами послідовності.
    • Вивести на екран значення першої змінної (a1).
  3. У циклі, (цикл від 2, бо одне число вже вивели на екран):
    • Вивести на екран значення другої змінної (a2).
    • За формулою обчислити значення третьої змінної a3, через a1 та a2.
    • Перед переходом на наступний виток циклу переприсвоюємо значення двох „попередніх” елементів: a1=a2, a2=a3.
    • Останній виток циклу для i=n, тому що на кожному витку ми виводимо на екран і-й елемент послідовності та обчислюємо і+1-й елемент. Тобто при i=2 виводимо на екран друге число та обчислюємо третє, при i=3 виводимо на екран третє число, та обчислюємо четверте і т і. Тобто, останній елемент виведеться на екран при i=n.

Результат роботи програми

ВвідВивідПояснення
6 1 1 2 3 5 8 Вводимо 6 - кількість чисел. Отримаємо шість елементів послідовності Фібоначчи

Змінні:

Вхідні:

Вихідні:

Проміжні:

Алгоритм

  1. Спочатку вводимо n – кількість чисел, що потрібно обчислити та вивести на екран.
  2. До початку циклу присвоїмо початкові значення двом попереднім елементам: змінним f1 та f2. Вони співпадають з двома першими числами послідовності та дорівнюють 1.
  3. Виводимо на екран «перше попереднє» число.
  4. У циклі будемо виконувати такі дії:

Програма

Варіанти задач

Варіант 1

  1. Надрукуйте у рядок 10 чисел з 3 знаками після крапки, якщо перше число 1, а кожне наступне число є добутком попереднього та 0.5.
  2. Нехай перший член послідовності чисел a=0.5, а кожний наступний елемент дорівнює сумі попереднього та числа 3.5. Складіть програму обчислення перших 10 елементів цій послідовності.

Варіант 2

  1. Послідовність чисел a1, a2, a3, ... утворюється за законом: . Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність чисел a1, a2, a3,...,an з 4 знаками після крапки.
  2. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел ai=2*i! , де i=1, 2, ...n. Пояснення: i факторіал це добуток чисел від 1 до i: i!=1*2*3*...*i.

Варіант 3

  1. Нехай перший член послідовності чисел a=10, а кожний наступний елемент дорівнює добутку попереднього та числа 2.5. Складіть програму обчислення перших 10 елементів цій послідовності з 1 знаком після крапки.
  2. Дано натуральні числа N та K. Надрукувати N чисел .

Варіант 4

  1. Дано натуральні числа N та K. Надрукувати K чисел .
  2. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел a1=1, ai=3*ai-1+2 де i=2,3...n

Варіант 5

  1. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел a1=1, ai=2*ai-1+1 де i=2,3...n
  2. Складіть програму обчислення перших 10 членів послідовності, якщо i-ий член послідовності має вигляд : xi=3i+2, де i=1,2,...10.

Варіант 6

  1. Складіть програму обчислення перших 10 членів послідовності, якщо i-ий член послідовності має вигляд: xi=2i+3, де i=1,2,...10.
  2. Нехай перший член послідовності чисел a=1000, а кожний наступний елемент дорівнює добутку попереднього та числа 0.5. Складіть програму обчислення перших 10 елементів цій послідовності з 1 знаком після крапки.

Варіант 7

  1. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел ai=i!+2 , де i=1, 2, ...n. Пояснення: i факторіал це добуток чисел від 1 до i: i!=1*2*3*...*i.
  2. Послідовність чисел a1, a2, a3, ... утворюється за законом: . Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність чисел a1, a2, a3,...,an з 4 знаками після крапки.

Варіант 8

  1. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел з 5 знаками після крапки . Пояснення: i факторіал це добуток чисел від 1 до i: i!=1*2*3*...*i.
  2. Послідовність чисел a1, a2, a3, ... утворюється за законом: . Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність чисел a1, a2, a3,...,an з 4 знаками після крапки.

Варіант 9

  1. Послідовність чисел a1, a2, a3, ... утворюється за законом: . Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність чисел a1, a2, a3,...,an з 3 знаками після крапки.
  2. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел з 4 знаками після крапки . Пояснення: i факторіал це добуток чисел від 1 до i: i!=1*2*3*...*i.

Варіант 10

  1. Послідовність чисел a1, a2, a3, ... утворюється за законом: . Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність чисел a1, a2, a3,...,an з 4 знаками після крапки.
  2. Дано натуральне n. Надрукуйте послідовність чисел b1, b2, ... bn, де при i=1, 2, ...n значення bi=3i+2i+1. Наприклад: b1=3+22; b2=32+23; b3=33+24; ...

Варіант 11

  1. Послідовність чисел a1, a2, a3, ... утворюється за законом: . Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність чисел a1, a2, a3,...,an з 4 знаками після крапки.
  2. Дано натуральне n. Надрукувати n чисел з 3 знаками після крапки. Пояснення: i факторіал це добуток чисел від 1 до i: i!=1*2*3*...*i.

Варіант 12

  1. Послідовність чисел a1, a2, a3, ... утворюється за законом: . Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність чисел a1, a2, a3,...,an з 4 знаками після крапки.
  2. Дано натуральне n. Надрукувати з 4 знаками після крапки N чисел x1=0.3; x2=-0.3; xi=i+sin(xi-2); де i=3, 4, ...n.

Варіант 13

  1. Дано натуральне n. Надрукувати з 4 знаками після крапки N чисел x1=0.3; x2=-0.3; xi=i+sin(xi-2); де i=3, 4, ...n.
  2. Дано натуральне n. Надрукуйте послідовність чисел b1, b2, ... bn, де при i=1, 2, ...n значення bi=3i+2i+1. Наприклад: b1=3+22; b2=32+23; b3=33+24; ...

Варіант 14

  1. Дано натуральне n. Надрукуйте послідовність чисел b1, b2, ... bn, де при i=1, 2, ...n значення bi=2i+3i+1. Наприклад: b1=2+32; b2=22+33; b3=23+34; ...
  2. Послідовність чисел a1, a2, a3, ... утворюється за законом: . Дано натуральне число n. Надрукуйте з 4 знаками після крапки послідовність чисел a1, a2, a3,...,an .

Варіант 15

  1. Дано натуральне n. Надрукувати з 3 знаками після крапки n чисел . Пояснення: i факторіал це добуток чисел від 1 до i: i!=1*2*3*...*i.
  2. Послідовність u1, u2, u3, ... утворюється за законом u1=0; u2=1; ui=ui-2+ui-1+fi (i=3,4, ...), де fi відповідний член послідовності Фібоначчі (f1=1; f2=1; f3=2; f4=3; f5=5;...). Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність u1, u2, u3,..., un (0 1 3 7 15 30...).

Варіант 16

  1. Послідовність u1, u2, u3, ... утворюється за законом u1=0; u2=1; ui=ui-2+ui-1+fi-1 (i=3,4, ...), де fi-1 відповідний член послідовності Фібоначчі (f1=1; f2=1; f3=2; f4=3; f5=5;...). Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність u1, u2, u3,..., un (0 1 2 5 10 20 ...).
  2. Дано натуральне n. Надрукуйте з 6 знаками після крапки послідовність чисел b1, b2, ... bn, де при i=1, 2, ...n, . Наприклад:

Варіант 17

  1. Послідовність u1, u2, u3, ... утворюється за законом u1=0; u2=1; ui=ui-2+ui-1+fi-2 (i=3,4, ...), де fi-2 відповідний член послідовності Фібоначчі (f1=1; f2=1; f3=2; f4=3; f5=5;...). Дано натуральне число n. Надрукуйте послідовність u1, u2, u3,..., un (0 1 2 4 8 15 ...).
  2. Дано натуральне n. Надрукуйте з 3 знаками після крапки послідовність чисел b1, b2, ... bn, де при i=1, 2, ...n, . Наприклад:

Назад Зміст Вперед